dahimatematik - Trigonometri

Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometrinin bazı ögeleri, daha Babilliler ve Mısırlılar döneminde biliniyor, eski Yunanlılar Menelaos’un Küresel geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant, kotanjant, sekant, kosekant kavramlarını geliştirdiler.^{[kaynak belirtilmeli]}.

Batı’da Nasirettin Tusi’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus’un Üçgen Üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. John Napier logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri fonksiyonlarının ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı.^{[kaynak belirtilmeli]}.

Düzlemsel trigonometri aslında her tür düzlemsel üçgen için geçerli olmakla birlikte, bağıntılar genellikle dik üçgenlerde tanımlanır. Açılarından biri (x) 0° ile 90° arasında olan bir dik üçgenin (düzlemsel bir üçgende iç açıların toplamı 180° olduğu için) öteki açısı 90-x'e eşittir. Böyle bir üçgende dik açının karşısındaki kenar |OD| hipotenüs, O 'nun karşısındaki kenar |CD| karşı kenar, |OC| 'ya komşu olan kenar ise komşu kenar olarak adlandırılır. Bu kenarlar birbirlerine ikişer ikişer altı farklı biçimde oranlanabilir, böylece A açısının trigonometrik fonksiyonları tanımlanmış olur.

Açı

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.

[OA ve [OB ışınlarına açının kenarları, O noktasına ise açının köşesi denir.

Birim (trigonometrik) çember [değiştir]

Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember veya trigonometrik çember denir. Birim çemberin denklemi $x 2 + y 2 = 1$ şeklindedir.

Birim çemberde verilen bir $P(x,y)$ noktası;

1.bölgede $x > 0 , y > 0$
2.bölgede $x < 0 , y > 0$
3.bölgede $x < 0, y < 0$
4.bölgede $x > 0, y < 0$ dır.

Açıyı ölçmek demek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.

Bazı açı ölçü birimleri şunlardır;

DERECE: Bir tam çember yayının 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir.

GRAD: Bir tam çember yayının 400 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 grad denir.

RADYAN: Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Çember yayının ölçüsü $2pi$ radyandır ve radyanla çarpılarak bulunur.

Sarma fonksiyonu [değiştir]

Gerçel sayılar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan fonksiyona sarma fonksiyonu denir.

Sarma fonksiyonunu s ile, birim çemberi de C ile gösterirsek fonksiyon

$s:mathbb{R}to C$

şeklinde yazılabilir ve $s(x)=P$ oldugunda $s(x+ 2k pi ) = P$ olur. Başka bir deyişle, sarma fonksiyonu, gerçel sayılar üzerinde dönemi (periyodu) $2π$ olan bir fonksiyondur.

Bir açının esas ölçüsü [değiştir]

a) Verilen açı $0 < x < 360$ ya da $x = 0 , x = 360$ ise;

$x$ in esas ölçüsü kendisidir.

b) Verilen açı $x > 360$ ya da $x = 360$ ise;

$x$ in 360 a bölümünden kalan esas ölçüyü verir.

c) Verilen açı $x < 0$ ise;

$-x$ 360 a bölümünden kalan $y$ olsun.

O halde, $x$ in esas ölçüsü $360 - y$ dır.

Trigonometrik fonksiyonlar [değiştir]

Sinüs, kosinüs ve tanjant.

Sağdaki resimdeki gibi verilmiş bir $A B C$ üçgeninde

Sinüs (kısaltılmış biçimi; sin), $sin alpha = frac{vert BC vert}{vert AB vert} = frac{a}{h}$
kosinüs (cos), $cos alpha = frac{vert AC vert}{vert AB vert} = frac{b}{h}$
tanjant (tan ya da tg), $tan alpha = frac{vert BC vert}{vert AC vert} = frac{a}{b}$
kotanjant (cot) $cot alpha = frac{vert AC vert}{vert BC vert} = frac{b}{a}$
sekant (sec), $sec alpha = frac{vert AB vert}{vert AC vert} = frac{h}{b}$
kosekant (cosec) ve $csc alpha = frac{vert AB vert}{vert BC vert} = frac{h}{a}$

olarak adlandırılır.

Bu tanımlardan görülebileceği gibi, bu fonksiyonlar arasında,

$tan x = frac{sin x}{cos x}$

$cot x = frac{1}{tan x} = frac{cos x}{sin x}$

$sec x = frac{1}{cos x}$

$csc x = frac{1}{sin x}$

${cos^2 x} + {sin^2 x} = 1$ (Pisagor teoremi)

${tan^ x} . {cot^ x} = 1$

ilişkileri vardır.

Dik üçgenlerde bazı açıların trigonometrik oranlarİ [değiştir]

	$0$	$30 =pi /6$	$45 =pi /4$	$60 =pi /3$	$90 =pi /2$	$180 =pi$	$270 =(3/2)pi$
$sin x$	$0$	$1 / 2$	$sqrt 2 / 2$	$sqrt 3 / 2$	$1$	$0$	$-1$
$cos x$	$1$	$sqrt {3} / 2$	$sqrt {2} / 2$	$1/ 2$	$0$	$-1$	$0$
$tan x$	$0$	$1 / sqrt {3}$	$1$	$sqrt {3}$	tanımsız	$0$	tanımsız
$cot x$	tanımsız	$sqrt{3}$	$1$	$1 / sqrt{3}$	$0$	tanımsız	$0$

Trigonometrinin kullanım alanları [değiştir]

Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır:

jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik mühendisliği, elektronik, jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı kuramı (ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji (eczacılık), optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji...

Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur. Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik fonksiyonlar farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok farklı dalda kullanım olanağı bulmuştur. Böylece ısı akışı ve difüzyon başta olmak üzere özellikle periyodik özellik gösteren kavramların incelendiği birçok dalda ve fenomende trigonometrik fonksiyonlar kullanılabilmiştir; akustik, radyasyon ve elektronik gibi..

Birim (trigonometrik) çember [değiştir]

Sarma fonksiyonu [değiştir]

Bir açının esas ölçüsü [değiştir]

Trigonometrik fonksiyonlar [değiştir]

Dik üçgenlerde bazı açıların trigonometrik oranlarİ [değiştir]

Trigonometrinin kullanım alanları [değiştir]

Kişisel araçlar

Ad alanları

Türevler

Görünüm

Eylemler

Ara

gezinti

katılım

Yazdır/dışa aktar

Araçlar

Diğer diller